專題：函式的準週期性和反週期性特徵分析

[知識和方法]。

1、功能的模仿期：我們知道，週期函式的影象實際上可以看作是函式 f（x）在一段時間內向左或向右的影象，如果與每次平移同時進行; 還有水平或垂直縮放，這樣形成的函式稱為準週期函式。解決仿週期函式問題的常用方法是將數字和形狀結合起來，難點在於熟悉這類函式的影象特徵，並正確地繪製出函式影象。以下是一些示例：

1）水平和垂直縮放：當x滿足[1,2]時，在區間[1，+]上定義的函式f（x）;f（x）=+3-2，當x2，f（x）=2f（）時，函式f（x）的影象可以畫如下：

2）縱向可擴充套件：當x滿足[1,2]時，在[1，+]上定義的函式f（x），f（x）=+3-2;當 x 2 且 f（x） = 2f（x-1）時，其影象為：

2.函式的反週期：如果函式f（x）=f（x+a），則f（x）是有週期的函式。如果函式 f（x）滿足定義域中每個 x 的 f（x+a）=-f（x），則稱函式 f（x）為反週期函式。進一步分析表明，用x+a代入x後，可以得到f（x+2a）=f（x）; 因此，函式 f（x）的週期為 2a，其對週期為另外，從影象中可以看出，f（x+a）=-f（x）可以理解為函式f（x）影象上長度a的區間連續向左和向右移動乙個單位，然後在平移時沿x軸再次翻轉，依此類推，得到函式f（x）的所有影象。如下圖所示：

示例 1]已知在 r 上定義的函式 f（x）滿足：

f(x+)=-f(x)；f（-2）=f（-1）=-1， f（0）=2，求f（1）+f（2）+....f（2019 年）。

分析] f（x+3）=f（x）從問題;因此，該函式是乙個週期為 3 的函式，所以有 f（1）=f（-2）=-1， f（2）=-1， f（3）=f（0）=2，所以 f（1）+f（2）+....f(2019)=673[f(1)+f(2)+f(3)]=0.

示例 2]在（1，+）上定義的函式 f（x）同時滿足：

1）對於任何 x （1，+ 常數 f（2x）=2f（x）成立;

2）當 x （1,2]， f（x） = （x-2）設函式 g（x）=f（x）-k（x-1）; 如果 g（x）正好有兩個零，則求實數 k 的範圍。

分析]當 f（2x）=2f（x）中的問題 x>1 是意向的，將 x 替換為 x 2 得到 f（x）=2f（x2）（x>2），並製作函式 f（x）的影象，如圖 1 所示，函式 g（x）有兩個零點，相當於 y=f（x），直線 y=k（x-1）有兩個交點，如圖 2 所示，臨界狀態為 and，很容易找到兩條直線的斜率分別為 k = 4 3 和 k = 2從圖中可以看出，k [4， 3， 2]。